Question

已知函數(shù)，其中a＞0，
(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線與直線y=1平行，求a的值；
(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，2]上的最小值．

Answer 1

解：，
(1)由題意可得f′(1)=2(1-a³)=0，解得a=1，
此時(shí)f(1)=4，在點(diǎn)(1，f(1))處的切線為y=4，與直線y=1平行，
故所求的a值為1；
(2)由f′(x)=0可得x=a，a＞0，
①當(dāng)0＜a≤1時(shí)，f′(x)＞0在(1，2]上恒成立，
所以y=f(x)在[1，2]上遞增，所以f(x)在[1，2]上的最小值為f(1)=2a³+2；
②當(dāng)1＜a＜2時(shí)，

由上表可得y=f(x)在[1，2]上的最小值為f(a)=3a²+1；
③當(dāng)a≥2時(shí)，f′(x)＜0在[1，2)上恒成立，
所以y=f(x)在[1，2]上遞減，所以f(x)在[1，2]上的最小值為f(2)=a³+5；
綜上討論，可知：
當(dāng)0＜a≤1時(shí)，y=f(x)在[1，2]上的最小值為f(1)=2a³+2；
當(dāng)1＜a＜2時(shí)，y=f(x)在[1，2]上的最小值為f(a)=3a²+1；
當(dāng)a≥2時(shí)，y=f(x)在[1，2]上的最小值為f(2)=a³+5。