Question

等差數(shù)列{a_n}中,a₁＜0,S₉=S₁₂,該數(shù)列前多少項(xiàng)的和最小?

Answer 1

思路分析：求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題,實(shí)際是找到數(shù)列{a_n}的轉(zhuǎn)折項(xiàng),于是可采用基本量法解關(guān)于的不等式,即可解決問(wèn)題.另外,還可以從等差數(shù)列前n項(xiàng)和是關(guān)于n的二次函數(shù),利用二次函數(shù)的知識(shí)解決該問(wèn)題.

解法一:∵S₉=S₁₂,

∴9a₁+d=12a₁+d.

∴a₁=-10d.

    設(shè)該數(shù)列前n項(xiàng)的和最小,則有

    即

    解得10≤n≤11.∴取10或11時(shí),S_n取最小值.

    解法二:∵S₉=S₁₂,

∴a₁₀+a₁₁+a₁₂=0.∴3a₁₁=0.∴a₁₁=0.

∵a₁＜0,∴前10項(xiàng)或前11項(xiàng)和最小.

    解法三:∵S₉=S₁₂,∴S_n的圖象所在的拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x==10.5,又a₁＜0,∴{a_n}的前10項(xiàng)或前11項(xiàng)和最小.

    思維啟示：解決等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值問(wèn)題的常用方法:

(1)基本量法:當(dāng)a₁＞0,d＜0時(shí),n為使a_n≥0成立的最大自然數(shù)(或n為同時(shí)滿足a_n≥0且a_n+1≤0的自然數(shù))時(shí),S_n取得最大值;當(dāng)a＜0,d＞0時(shí),n為使a_n≤0成立的最大自然數(shù)(或n為同時(shí)滿足a_n≤0且a_n+1≥0的自然數(shù))時(shí),S_n取得最小值.

(2)二次函數(shù)法:用求二次函數(shù)的最值方法來(lái)求其前n項(xiàng)和的最值,但要注意的是:n∈N^*.如若S_n=23n-3n²,則不是n=時(shí)S_n取得最大值,而是當(dāng)n取與最接近的一個(gè)正整數(shù)4時(shí),S_n取得最大值.

(3)圖象法:利用二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性來(lái)確定n的值,使S_n取得最值.