Question

（05年福建卷）（12分）

已知方向向量為的直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)（0，－2）和橢圓C：的焦點(diǎn)，且橢圓C的中心關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在橢圓C的右準(zhǔn)線(xiàn)上.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）是否存在過(guò)點(diǎn)E（－2，0）的直線(xiàn)m交橢圓C于點(diǎn)M、N，滿(mǎn)足，

cot∠MON≠0（O為原點(diǎn)）.若存在，求直線(xiàn)m的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

解析：(Ⅰ)由題意可得直線(xiàn)ι：,     ①

過(guò)原點(diǎn)垂直ι的方程為             ②

解①②得x=.∵橢圓中心O(0,0)關(guān)于直線(xiàn)ι的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在橢圓C的右準(zhǔn)線(xiàn)上,

∴.∵直線(xiàn)ι過(guò)橢圓焦點(diǎn),∴該焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0).

∴a²=6,c=2,b²=2,故橢圓C的方程為.       ③

(Ⅱ)設(shè)M(x₁,y₁),N(x₂,y₂),當(dāng)直線(xiàn)m不垂直x軸時(shí),直線(xiàn)m：y=k(x+2)代入③,整理得

(3k²+1)x²+12k²x+12k²-6=0,則x₁+x₂=,x₁x₂=,

|MN|=

點(diǎn)O到直線(xiàn)MN的距離d=.∵cot∠MON,即

,

∴,∴,

即.整理得.

當(dāng)直線(xiàn)m垂直x軸時(shí),也滿(mǎn)足

故直線(xiàn)m的方程為或y=或x=-2.

經(jīng)檢驗(yàn)上述直線(xiàn)均滿(mǎn)足.

所在所求直線(xiàn)方程為或y=或x=-2..