Question

13．已知y=f（x），x∈R，且f（x+2）[1-f（x）]=1+f（x），又f（2）=$\sqrt{2}$，求f（2008）

Answer 1

分析 根據(jù)條件f（x+2）=$\frac{1+f（x）}{1-f（x）}$，得到函數(shù)f（x）是周期為8的周期函數(shù)，進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：∵f（x+2）[1-f（x）]=1+f（x），
∴f（x+2）=$\frac{1+f（x）}{1-f（x）}$，
則f（x+4）=$\frac{1+f（x+2）}{1-f（x-2）}$=$\frac{1+\frac{1+f（x）}{1-f（x）}}{1-\frac{1+f（x）}{1-f（x）}}$=$-\frac{1}{f（x）}$，
即f（x+8）=-$\frac{1}{f（x+4）}$=f（x），
則函數(shù)f（x）是周期為8的周期函數(shù)，
則f（2008）=f（251×8）=f（0），
∵f（2）=$\frac{1+f（0）}{1-f（0）}=\sqrt{2}$，
即1+f（0）=$\sqrt{2}$$-\sqrt{2}$f（0），
即（1+$\sqrt{2}$）f（0）=$\sqrt{2}-1$，
∴f（0）=$\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}$=3-2$\sqrt{2}$，
即f（2008）=f（0）=3-2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)值的計(jì)算，根據(jù)條件判斷函數(shù)的周期性是解決本題的關(guān)鍵．