Question

設(shè)a_n=1+++…+ (n∈N⁺)，是否存在n的整式g(n),使得等式a₁+a₂+a₃+…+a_n-1=g(n)(a_n-1)對于大于1的一切自然數(shù)n都成立？證明你的結(jié)論.

Answer 1

解析：假設(shè)g(n)存在，探索g（n）.

當(dāng)n=2時(shí)，由a₁=g(2)(a₂-1),即1=g(2)(1+-1)解得：g(2)=2;

當(dāng)n=3時(shí)，由a₁+a₂=g(3)(a₃-1),

即1+(1+)=g(3)(1++-1).

解得g(3)=3.

當(dāng)n=4時(shí)，同樣可解得g(4)=4,

由此猜想g(n)=n(n∈N,且n≥2).

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

(1)當(dāng)n=2時(shí)，a₁=1,g(2)(a₂-1)=2·=1,結(jié)論成立.

(2)假設(shè)n=k(k≥2)時(shí)，結(jié)論成立，即有

a₁+a₂+…+a_k-1=g(k)(a_k-1)=k(a_k-1)成立.

則n=k+1時(shí)，a₁+a₂+…+a_k-1+a_k=k(a_k-1)+a_k=(k+1)a_k-k=(k+1)a_k-(k+1)+1=(k+1)(a_k+ -1)=(k+1)(a_k+1-1),

這說明n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立.

由（1）（2）知對于大于1的自然數(shù)n,存在g(n)=n,a₁+a₂+…+a_n-1=g(n)(a_n-1)恒成立.