Question

2．已知等差數列{a_n}滿足a₂=3，S₄=14，若數列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n項和S_n=$\frac{1007}{2016}$，則n=2014．

Answer 1

分析 利用等差數列的通項公式及其前n項和公式可得a_n，再利用“裂項求和”方法即可得出．

解答 解：設等差數列{a_n}的公差為d，∵a₂=3，S₄=14，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=3}\\{4{a}_{1}+\frac{4×3}{2}d=14}\end{array}\right.$，解得a₁=2，d=1．
∴a_n=2+（n-1）=n+1．
∴$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$．
∴S_n=$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）$+…+$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}$，
∴S_n=$\frac{1007}{2016}$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}$，
解得n=2014．
故答案為：2014．

點評 本題考查了“裂項求和”、等差數列的通項公式及其前n項和公式，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．