Question

已知函數(shù)f（x）=+lnx（a≠0）
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范圍；
（3）求證：ln2＜＜ln3（n∈N^*）

Answer 1

解：（1）因為函數(shù) ，其定義域為（0，+∞）
所以f′（x）=[]′+（lnx）′=
即
當a＜0時，增區(qū)間為﹙0，+∞﹚；
當a＞0時，減區(qū)間為﹙0，），增區(qū)間為（，+∞）
（2）1°當a＜0時，函數(shù)增區(qū)間為﹙0，+∞﹚，此時不滿足f（x）≥0在（0，+∞）上恒成立；
2°當a＞0時，函數(shù)減區(qū)間為﹙0，），增區(qū)間為（，+∞），
要使f（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
只需f（）≥0即可，
即1--lna≥0，
令g（a）=1--lna （a＞0）
則g′（a）=-==0，
解得a=1，因此g（a）在（0，1）單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
所以當a=1時，g（a）取最大值0，
故f（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
當且僅當a=1時成立，即a=1；
（3）由（2）知，令時，＞0（k∈N^*）
∴（k∈N^*）
∴
令，則＞0（k∈N^*）
∴（k∈N^*）
∴
綜上成立．
分析：（1）直接利用導數(shù)的運算法則即可求出f′（x），對a進行討論，即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）根據(jù)（1）函數(shù)的單調(diào)性，對a進行討論，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值，對函數(shù)的最小值進行求導，即可求得a的取值范圍；
（3）根據(jù)（2）的結果，a=′1時，f（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，分別令，即可證得結果．
點評：本題考查函數(shù)性質(zhì)和導數(shù)的綜合應用，本題解題的關鍵是利用導數(shù)方法求函數(shù)的最值，利用函數(shù)思想時也要用導數(shù)來求最值，考查靈活應用知識分析解決問題的能力和運算能力，屬難題．