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已知函數f(t)滿足對任意實數x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1,且f(－2)=－2.

   （1）求f(1)的值;

   （2）證明：對一切大于1的正整數t，恒有f(t)>t；

   （3）試求滿足f(t)=t的整數t的個數，并說明理由.

（1）1（2）證明見解析（3）滿足條件的整數只有t=1，


解析:

（1）為求f(1)的值，需令

令.

令.

   （2）令(※)

.

由,

,

于是對于一切大于1的正整數t，恒有f(t)>t.

   （3）由※及（1）可知.

下面證明當整數.

(※)得

即……，

將諸不等式相加得

   .

綜上，滿足條件的整數只有t=1，.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：2004年高考教材全程總復習試卷·數學 題型：044

已知函數f(t)滿足對任意實數x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋xy＋1，且f(－2)＝－2，

(1)求f(1)的值．

(2)證明：對于一切大于1的正整數t，恒有f(t)＞t．

(3)試求滿足f(t)＝t的整數t的個數，并說明理由．

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科目：高中數學 來源：山東省濟寧市汶上一中2011－2012學年高二3月月考數學理科試題 題型：044

已知函數f(x)滿足f(x)＋(0)－e－x＝－1，函數g(x)＝－λlnf(x)＋sinx是區(qū)間[－1，1]上的減函數．

(1)當x≥0時，曲線y＝f(x)在點M(t，f(t))的切線與x軸、y軸圍成的三角形面積為S(t)，求S(t)的最大值；

(2)若g(x)＜t2＋λt＋1在x∈[－1，1]時恒成立，求t的取值范圍；

(3)設函數h(x)＝－lnf(x)－ln(x＋m)，常數m∈Z，且m＞1，試判定函數h(x)在區(qū)間[e－m－m，e2m－m]內的零點個數，并作出證明．

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科目：高中數學 來源： 題型：044

    已知函數f(x)滿足對任意實數x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+xy+1,且f（－2）=－2.

    （1）求f（1）的值;

    （2）證明:對一切大于1的正整數t，恒有f（t）>t;

    （3）試求滿足f（t）=t的整數的個數，并說明理由.

 

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(t)對任意實數x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy(x+y+2)+3,f(1)=1.

(1)若t為正整數，試求f(t)的表達式.

(2)滿足f(t)=t的所有整數t能否構成等差數列？若能構成等差數列，求出此數列；若不能構成等差數列，請說明理由.

(3)若t為自然數，且t≥4,f(t)≥mt2+(4m+1)t+3m恒成立，求m的最大值.

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