Question

20．如圖，AD是△ABC邊BC上的高，DE⊥AB，DF⊥AC
（Ⅰ）證明：B，C，F(xiàn)，E四點(diǎn)共圓；
（Ⅱ）若AF=5，CF=2，DE=2$\sqrt{5}$，求AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）如圖，連接EF．欲證明B，C，F(xiàn)，E四點(diǎn)共圓，只需推知“其一個(gè)外角等于其鄰補(bǔ)角的內(nèi)對(duì)角”（∠C=∠AEF）即可；
（Ⅱ）在直角三角形ADC中利用射影定理得到線段AD的長(zhǎng)度；在直角三角形AED中利用勾股定理得到線段AE的長(zhǎng)度；最后在直角三角形ADB中利用勾股定理來(lái)求線段AB的長(zhǎng)度．

解答 解：（Ⅰ）證明：連接EF，由已知A，E，D，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，
∴∠FAD=∠FED．
∵∠C+∠FAD=∠AEF+∠FED=90°，
∴∠C=∠AEF，
則B，C，E，F(xiàn)四點(diǎn)共圓．
（Ⅱ） 解：∵直角三角形ADC中，DF⊥AC，
∴由射影定理得：AD²=AF×AC=5×7=35．
直角三角形AED中，$AE=\sqrt{A{D^2}-D{E^2}}=\sqrt{35-{{（2\sqrt{5}）}^2}}=\sqrt{15}$，
直角三角形ADB中，DE⊥AB，由射影定理得：AE×AB=AD²，
∴$AB=\frac{{A{D^2}}}{AE}=\frac{35}{{\sqrt{15}}}=\frac{{7\sqrt{15}}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了射影定理、勾股定理．總結(jié)：直角三角形的斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上的射影的比例中項(xiàng)；兩條直角邊分別是他們?cè)谛边吷仙溆芭c斜邊的比例中項(xiàng)．