在數(shù)列
中，
，其中
。
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）求數(shù)列的前
項和
；
（3）證明：存在
，使得
對任意
均成立。
解法一：（1）
由此可猜想出數(shù)列
的通項公式為
以下用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)
時，
，等式成立．
②假設(shè)當(dāng)
時等式成立，即
那么
這就是說，當(dāng)
時等式也成立。
根據(jù)①和②可知，等式對任何
都成立。
解法二：由
，可得
所以
為等差數(shù)列，其公差為1，首項
為0，故
，所以數(shù)列的通項
公式為。
（2）設(shè)
①
②
當(dāng)
時，①式減去②式，得
這時數(shù)列的前n項和為
當(dāng)
時，
。這時數(shù)列的前
項和
。
（3）通過分析，推測數(shù)列
的第一項
最大，
下面證明：
③
由知
，
要使③式成立，只要
，
因為
所以③式成立。
因此，存在
，使得
對任意均成立。
科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2007年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)卷（天津） 題型：解答題
（本小題滿分14分）
在數(shù)列
中，
，其中
．
（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）求數(shù)列的前
項和
；
（Ⅲ）證明存在
，使得
對任意
均成立．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011屆河北省邯鄲市高三第二次模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)卷 題型：解答題
在數(shù)列
中，
（其中
為數(shù)列
的前n項和).
(I )求數(shù)列
的通項公式
；
(II)若
，求數(shù)列
的前n項和
，
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011年山東省青島市高考模擬練習(xí)題（一）數(shù)學(xué)（理） 題型：解答題
（本小題滿分12分） 在數(shù)列
中，
，其中
．
(Ⅰ)求證：數(shù)列
為等差數(shù)列；
(Ⅱ)求證：
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年河北省邯鄲市高三第二次模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)卷 題型：解答題
在數(shù)列
中，
（其中
為數(shù)列
的前n項和).
(I )求數(shù)列
的通項公式
；
(II)若
，求數(shù)列
的前n項和
，
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013屆廣東省珠海市高二2月月考理科數(shù)學(xué) 題型：解答題
在數(shù)列
中，
，其中
．
(Ⅰ)求證：數(shù)列
為等差數(shù)列；
(Ⅱ)求證：
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