Question

14．已知直線y=1-x與橢圓ax²+by²=1（a＞0，b＞0）交于A，B兩點，且過原點和線段AB中點的直線的斜率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，則$\frac{a}$的值為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• B． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{{9\sqrt{3}}}{2}$
• D． $\frac{{2\sqrt{3}}}{27}$

Answer 1

分析 把y=1-x代入橢圓ax²+by²=1，得（a+b）x²-2bx+b-1=0，由此利用韋達定理、中點坐標公式能求出結果．

解答 解：把y=1-x代入橢圓ax²+by²=1，得ax²+b（1-x）²=1，
整理得（a+b）x²-2bx+b-1=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x1+x2=$\frac{2b}{a+b}$，y1+y2=2-$\frac{2b}{a+b}$，
∴線段AB的中點坐標為（$\frac{a+b}$，$\frac{a}{a+b}$），
∴過原點與線段AB中點的直線的斜率k=$\frac{\frac{a}{a+b}}{\frac{a+b}}$=$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故選：A．

點評 本題考查兩數(shù)比值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意韋達定理、中點坐標公式、橢圓性質的合理運用．