Question

已知數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a₁=1，a_n+1=

3an

3+2an

．設(shè)b_n=a_na_n+1-

1

9

，S_n=b₁+b₂+…+b_n．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求證：S_n≤

3

2

（n≤N^*）．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）利用遞推思想求出數(shù)列的前4項(xiàng)，由此猜想a_n=

3

2n+1

．再用數(shù)學(xué)歸納法證明．
（Ⅱ）由b_n=a_na_n+1-

1

9

=

3

(2n+1)

•

3

(2n+3)

-

1

9

=

9

2

(

1

2n+1

-

1

2n+3

)-

1

9

，利用裂項(xiàng)法能證明S_n＜

3

2

（n∈N^*）．

解答： 解：（Ⅰ）數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a₁=1，a_n+1=

3an

3+2an

，
a2=

3

3+2

=

3

5

，
a₃=

9 5

3+ 6 5

=

3

7

，
a₄=

9 7

3+ 6 7

=

3

9

，
由此猜想a_n=

3

2n+1

．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①n=1時(shí)，a1=

3

2×1+1

=1，成立．
②假設(shè)n=k時(shí)成立，即ak=

3

2k+3

，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，
ak+1=

3× 3 2k+1

3+2× 3 2k+1

=

9

6k+3+6

=

3

2k+3

=

3

2(k+1)+1

，也成立．
由①②，得an=

3

2n+1

．
（Ⅱ）b_n=a_na_n+1-

1

9

=

3

(2n+1)

•

3

(2n+3)

-

1

9

=

9

2

(

1

2n+1

-

1

2n+3

)-

1

9

，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n
=

9

2

(

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n+1

-

1

2n+3

)-

n

9

=

9

2

(

1

3

-

1

2n+3

)-

n

9

=

3

2

-

9

2(2n+3)

-

n

9

．
∴S_n＜

3

2

（n∈N^*）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查不等式的證明，解題時(shí)要注意數(shù)學(xué)歸納法和裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．