Question

1．（Ⅰ）請默寫兩角和與差的余弦公式（C_（α+β），C_（α-β）），并用公式C_（α-β）證明公式C_（α+β）C_（α+β）：cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ；C_（α-β）：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ．
（Ⅱ）在平面直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）間的距離公式是：$|{AB}|=\sqrt{{{（{{x_2}-{x_1}}）}^2}+{{（{{y_2}-{y_1}}）}^2}}$，如圖，點(diǎn)A（1，0），P₁（cosα，sinα），P₂（cos（-β），sin（-β）），P（cos（α+β），sin（α+β）），請從這個(gè)圖出發(fā)，推導(dǎo)出兩角和的余弦公式（C_（α+β））（注：不能用向量方法）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由α+β=α-（-β），利用誘導(dǎo)公式即可證明；
（Ⅱ）由AP=P₁P₂及兩點(diǎn)間的距離公式即可得解．

解答 （本題滿分為12分）
解：（Ⅰ）兩角和的余弦公式C_α+β為：cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ．兩角差的余弦公式C_α-β為：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ．
證明：∵cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，
∴cos（α+β）=cos[α-（-β）]=cosαcos（-β）+sinαsin（-β）=cosαcosβ-sinαsinβ，得證．
故答案為：cosαcosβ-sinαsinβ，cosαcosβ+sinαsinβ．…（6分）
（Ⅱ）由AP=P₁P₂及兩點(diǎn)間的距離公式，得：[cos（α+β）-1]²+sin²（α+β）=[cos（-β）-cosα]²+[sin（-β）-sinα]²…（6分）
展開并整理得：2-2cos（α+β）=2-2（cosαcosβ-sinαsinβ）
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查兩角和與差的余弦公式，考查兩點(diǎn)間的距離公式，利用任意角的三角函數(shù)的定義證明兩角和的余弦公式C_α+β是難點(diǎn)，屬于中檔題．