Question

13．已知f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx-sin²x+$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$，則下列結(jié)論錯誤的是（　�。�

• A． f（x）在區(qū)間（0，$\frac{π}{6}$）上單調(diào)遞增
• B． f（x）的一個對稱中心為（-$\frac{π}{12}$，0）
• C． 當x∈[0，$\frac{π}{3}$]時，fx）的值域為[1，$\sqrt{3}$]
• D． 先將函數(shù)f（x）的圖象的縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的$\frac{1}{2}$倍，再向左平移$\frac{π}{8}$個單位后得到函數(shù)y=2cos（4x+$\frac{π}{6}$）的圖象

Answer 1

分析 利用倍角公式降冪，再由兩角和的正弦化簡，然后逐一核對四個命題得答案．

解答 解：f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx-sin²x+$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}sin2x-\frac{1-cos2x}{2}+\frac{1}{2}cos2x+\frac{1}{2}$
=$\sqrt{3}sin2x+cos2x$=$2sin（2x+\frac{π}{6}）$，
當x∈（0，$\frac{π}{6}$）時，$2x+\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{3}，\frac{π}{2}$），則f（x）在區(qū)間（0，$\frac{π}{6}$）上單調(diào)遞增，A正確；
∵f（$-\frac{π}{12}$）=$2sin（-\frac{π}{6}+\frac{π}{6}）=2sin0=0$，∴f（x）的一個對稱中心為（-$\frac{π}{12}$，0），B正確；
當x∈[0，$\frac{π}{3}$]時，$2x+\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}$]，f（x）的值域為[1，2]，∴C錯誤；
先將函數(shù)f（x）的圖象的縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的$\frac{1}{2}$倍，得到y(tǒng)=2sin（4x+$\frac{π}{6}$）的圖象，
再向左平移$\frac{π}{8}$個單位后得到函數(shù)y=2sin[4（x+$\frac{π}{8}$）+$\frac{π}{6}$]=2sin（$\frac{π}{2}+4x+\frac{π}{6}$）=2cos（4x+$\frac{π}{6}$）的圖象，D正確．
∴錯誤的命題是C．
故選：C．

點評 本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查了y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，訓(xùn)練了兩角和與差的正弦及倍角公式的應(yīng)用，是中檔題．