Question

3．已知函數(shù)f（x）=x³-bx²+2cx的導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=2 對(duì)稱．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）無(wú)極值，求c的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）f′（x）=3x²-2bx+2c，由于導(dǎo)函數(shù)f′（x）的圖象關(guān)于直線x=2 對(duì)稱，利用二次函數(shù)的對(duì)稱性可得$\frac{3}$=2，解得b即可．
（II）由（I）可知：f′（x）=3x²-12x+2c=3（x-2）²+2c-12，當(dāng)2c-12≥0，f′（x）≥0，此時(shí)函數(shù)f（x）無(wú)極值，解出即可．

解答 解：（I）f′（x）=3x²-2bx+2c，
∵導(dǎo)函數(shù)f′（x）的圖象關(guān)于直線x=2 對(duì)稱，
∴$\frac{3}$=2，解得b=6．
（II）由（I）可知：f（x）=x³-6x²+2cx，
f′（x）=3x²-12x+2c=3（x-2）²+2c-12，
當(dāng)2c-12≥0，即c≥6時(shí)，f′（x）≥0，此時(shí)函數(shù)f（x）無(wú)極值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值、二次函數(shù)的對(duì)稱性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．