Question

1．我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家，某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，計(jì)劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案，擬確定一個(gè)合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)x（噸），一位居民的月用水量不超過x的部分按平價(jià)收費(fèi)，超過x的部分按議價(jià)收費(fèi)．為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．
（Ⅰ）求直方圖中a的值；
（Ⅱ）若將頻率視為概率，從該城市居民中隨機(jī)抽取3人，記這3人中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．
（Ⅲ）若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)x（噸），估計(jì)x的值（精確到0.01），并說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)頻率和為1，列出方程求得a的值；
（Ⅱ）計(jì)算月均用水量不低于3噸的頻率值，由抽取的人數(shù)X的可能取值為0，1，2，3；
計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率值，寫出X的分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望值；
（Ⅲ）計(jì)算月均用水量小于2.5噸和小于3噸的百分比，
求出有85%的居民月用水量不超過的標(biāo)準(zhǔn)值．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)頻率和為1，得
（0.06+0.18+2a+0.42+0.52+0.11+0.06+0.03）×0.5=1，
解得a=0.30；
（Ⅱ）月均用水量不低于3噸的頻率為
（0.11+0.06+0.03）×0.5=0.1，
則p=0.1，抽取的人數(shù)為X，
則X的可能取值為0，1，2，3；
∴P（X=0）=${C}_{3}^{0}$•0.9³=0.729，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}$•0.1•0.9²=0.243，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}$•0.1²•0.9=0.027，
P（X=3）=${C}_{3}^{3}$•0.1³=0.001；
∴X的分布列為

X	0	1	2	3
P	0.729	0.243	0.027	0.001

數(shù)學(xué)期望為EX=0×0.729+1×0.243+2×0.027+3×0.001=0.3；
（Ⅲ）由圖可知，月均用水量小于2.5噸的居民人數(shù)所占的百分比為
0.5×（0.06+0.18+0.3+0.42+0.52）=0.73，
即73%的居民月均用水量小于2.5噸；
同理，88%的居民月均用水量小于3噸；
故2.5＜x＜3，
假設(shè)月均用水量平均分布，則
x=2.5+0.5×$\frac{（0.85-0.73）÷0.5}{0.3}$=2.9（噸），
即85%的居民每月用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)為2.9噸．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問題，也考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的計(jì)算問題，是中檔題．