Question

15．若x，y為兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)，且x²=2x+1，y²=2y+1，則x⁶+y⁶=198．

Answer 1

分析 x，y為兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)，且x²=2x+1，y²=2y+1，可得x，y為一元二次方程t²-2t-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；可得x+y=2，xy=-1．進(jìn)而得到x²+y²=（x+y）²-2xy．x⁴+y⁴=（x²+y²）²-2x²y²．利用立方和公式可得：x⁶+y⁶=（x²+y²）（x⁴+y⁴-x²y²）即可得出．

解答 解：∵x，y為兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)，且x²=2x+1，y²=2y+1，
∴x，y為一元二次方程t²-2t-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
∴x+y=2，xy=-1．
∴x²+y²=（x+y）²-2xy=2²-2（-1）=6．
x⁴+y⁴=（x²+y²）²-2x²y²=6²-2×（-1）²=34．
則x⁶+y⁶=（x²+y²）（x⁴+y⁴-x²y²）
=6×（34-1）
=198．
故答案為：198．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、乘法公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．