Question

19.設(shè)二次函數(shù)方程的兩根和滿足

(Ⅰ)求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

(Ⅱ)試比較的大小，并說明理由.

Answer 1

本小題主要考查二次函數(shù)、二次方程的基本性質(zhì)及二次不等式的解法，考查推理和運(yùn)算能力.

解法1：(Ⅰ)令g(x)=f(x)-x=x²+(a-1)x+a,則由題意可得

故所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0，3-2).

(Ⅱ)f(0)·f(1)-f(0)=g(0)g(1)=2a², 令h(a)=2a².

∵當(dāng)a＞0時(shí)h(a)單調(diào)增加，

∴當(dāng)0＜a＜3-2時(shí)

0＜h(a)＜h(3-2)=2(3-2)²=2(17-12)

=2·

解法2：(Ⅰ)同解法1.

(Ⅱ)∵f(0)f(1)-f(0)=g(0)g(1)=2a²,由(Ⅰ)知0＜a＜3-2

∴4a-1＜12-17＜0,又4a+1＞0,于是

2a²-=

即2a²-故f(0)f(1)-f(0)＜

解法3：(Ⅰ)方程f(x)-x=0x²+(a-1)x+a=0,由韋達(dá)定理得

故所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0，3-2)

(Ⅱ)依題意可設(shè)g(x)=(x-x₁)(x-x₂),則由0＜x₁＜x₂＜1得

f(0)f(1)-f(0)=g(0)g(1)=x₁x₂(1-x₁)(1-x₂)=［x₁(1-x₁)］［x₂(1-x₂)］

＜