Question

（2013•嘉興一模）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，且a=

1

2

c+bcosC．
（I ）求角B的大小
（II）若S△ABC=

3

，求b的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知結(jié)合正弦定理可得：sinA=

1

2

sinC+sinBcosC，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式、兩角和的三角公式對已知進行化簡即可求解cosB，進而可求B
（Ⅱ） 由 S△ABC=

3

，結(jié)合三角形的面積公式 

1

2

acsin

1

3

π=

3

，可求ac，然后 結(jié)合余弦定理及基本不等式可求b的最小值

解答：解：（Ⅰ）由正弦定理可得：sinA=

1

2

sinC+sinBcosC，…（2分）
又因為A=π-（B+C），所以sinA=sin（B+C），…（4分）
可得sinBcosC+sinCcosB=

1

2

sinC+sinBcosC，…（6分）
即cosB=

1

2

．所以B=

1

3

π                                …（7分）
（Ⅱ） 因為 S△ABC=

3

，所以 

1

2

acsin

1

3

π=

3

，所以ac=4    …（10分）
由余弦定理可知：b²=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac        …（12分）
所以b²≥4，即b≥2，所b的最小值為2．　　　　　　　　…（14分）

點評：本題綜合考查了正弦定理、余弦定理及三角形的面積公式、和差角公式等知識的 綜合應(yīng)用．