Question

已知拋物線y²=-x與直線y=k(x+1)相交于A、B兩點(diǎn).

（1）求證：OA⊥OB；

（2）當(dāng)△OAB的面積等于時(shí)，求k的值.

Answer 1

（1）證明：如下圖，由方程組消去x后，整理得ky²+y-k=0.

設(shè)A（x₁,y₁）,B(x₂,y₂)，由韋達(dá)定理?y₁·y₂=-1.?

∵A,B在拋物線y²=-x上，

∴y₁²=-x₁,y₂²=-x₂,y₁²·y₂²=x₁x_2.

∵k_OA·k_OB=·===-1,∴OA⊥OB.

(2)解：設(shè)直線與x軸交于N，又顯然k≠0,

∴令y=0,則x=-1，即N（-1，0）.

∵S_△OAB=S_△OAN+S_△OBN=|ON||y₁|+|ON||y₂|=|ON|·|y₁-y₂|,

∴S_△OAB=·1·=.

∵S_△OAB=,∴.解得k=±.