Question

定義在R上的奇函數(shù)f（x），f（3）=0，且對(duì)任意不等的正實(shí)數(shù)x₁，x₂都滿足[f（x₁）-f（x₂）]（x₂-x₁）＜0，則不等式x³•f（-x）＞0的解集為（　�。�

A、（-3，0）∪（0，3）

B、（-∞，-3）∪（3，+∞）

C、（-∞，-3）∪（0，3）

D、（-3，0）∪（3，+∞）

Answer 1

分析：先利用定義在R上的奇函數(shù)f（x），對(duì)任意不等的正實(shí)數(shù)x₁，x₂都滿足[f（x₁）-f（x₂）]（x₂-x₁）＜0，得到函數(shù)f（x）是定義在R上的減函數(shù)，再利用函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)得f（-x）=-f（x），進(jìn)而可解不等式．

解答：解：∵定義在R上的奇函數(shù)f（x），對(duì)任意不等的正實(shí)數(shù)x₁，x₂都滿足[f（x₁）-f（x₂）]（x₂-x₁）＜0，
∴函數(shù)f（x）是定義在R上的增函數(shù)
∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴函數(shù)f（-x）=-f（x）
∴不等式x³•f（-x）＞0等價(jià)于不等式x³•f（x）＜0，
∵f（3）=0，∴f（-3）=0，
∴不等式x³•f（x）＜0等價(jià)于

x＞0 f(x)＜f(3)

或

x＜0 f(x)＞f(-3)

∴-3＜x＜0或0＜x＜3
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的綜合應(yīng)用問題．關(guān)鍵點(diǎn)有兩處：①判斷出函數(shù)f（x）的單調(diào)性；②利用奇函數(shù)的性質(zhì)得到函數(shù)f（-x）=-f（x）．