Question

已知展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256，展開(kāi)式中含x項(xiàng)的系數(shù)為112．
（Ⅰ）求m、n的值；
（Ⅱ）求展開(kāi)式中含x²項(xiàng)的系數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由二項(xiàng)式系數(shù)之和為2ⁿ=256，可得n，再由二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式結(jié)合含x項(xiàng)的系數(shù)為112可求的n的值；
（Ⅱ）由二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式可含求得x²項(xiàng)的系數(shù)．
解答：解：（Ⅰ）二項(xiàng)式系數(shù)之和為2ⁿ=256，可得n=8；…2分
設(shè)含x項(xiàng)為第r+1項(xiàng)，則T_r+1==m^r…3分
故=1，即r=2，…4分
則m²=112，解得m=±2…6分
∵m∈R+，
∴m=2…7分
（Ⅱ）∵展開(kāi)式的通項(xiàng)為•，即（其中r=0，1，2，…8；s=0，2，…6），…9分
令，則3r+2s=12…10分
∴或或…12分
∴x²的系數(shù)為（-1）⁶+2²（-1）³+=-1119…14分
點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，著重考查二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，注重轉(zhuǎn)化與方程思想的運(yùn)用，屬于中檔題．