Question

7．下列函數(shù)既是奇函數(shù)，又在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減的是（　　）

• A． f（x）=x³
• B． f（x）=-|x+1|
• C． f（x）=ln$\frac{1-x}{1+x}$
• D． f（x）=2^x+2^-x

Answer 1

分析 根據(jù)奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義，奇函數(shù)在原點有定義時，f（0）=0，以及函數(shù)單調(diào)性的定義，復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷便可判斷每個選項的正誤，從而找出正確選項．

解答 解：A．f（x）=x³在（0，1）上單調(diào)遞增，∴該選項錯誤；
B．f（x）=-|x+1|的定義域為R，且f（0）=-1≠0；
∴f（x）不是奇函數(shù)，∴該選項錯誤；
C.$f（x）=ln\frac{1-x}{1+x}$的定義域為（-1，1），且$f（-x）=ln\frac{1+x}{1-x}=-ln\frac{1-x}{1+x}=-f（x）$；
∴f（x）為奇函數(shù)；
$f（x）=ln\frac{1-x}{1+x}=ln（-1+\frac{2}{1+x}）$；
$t=-1+\frac{2}{1+x}$在（-1，1）上單調(diào)遞減，y=lnt單調(diào)遞增；
∴f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增；
∴該選項正確；
D．f（x）的定義域為R，且f（-x）=f（x）；
∴f（x）為偶函數(shù)；
∴該選項錯誤．
故選：C．

點評 考查奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義及判斷方法，奇函數(shù)f（x）在原點有定義時，f（0）=0，對數(shù)函數(shù)、反比例函數(shù)的單調(diào)性，復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷．