Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=2，AB=AA₁=2

2

，且AA₁⊥底面ABC，點D是AB的中點，點E是BB₁的中點．
（1）求證：A₁B⊥平面CDE；
（2）求直線A₁C與平面CDE所成的角；
（3）求三棱錐A₁-CDEDE 體積．

Answer 1

分析：（1）欲證A₁B⊥平面CDE，只需證明A₁B垂直平面CDE內(nèi)兩條相交直線即可，而A₁B⊥DE，CD⊥A₁B，CD∩DE=D，CD，DE?面CDE，滿足線面垂直的判定定理，結論得證；
（2）根據(jù)CF為A₁C在面CDE上的射影，則∠A₁CF是A₁C和面CDE所成的角，在Rt△A₁FC中求出此角即可；
（3）在Rt△CDE中，求出CD，DE的長，以及S△CDE=

2

，最后根據(jù)三棱錐的體積公式進行求解即可．

解答：解：（1）∵AA₁⊥底面ABC，CD?面ABC
∴AA₁⊥CD
∵AC=BC，點D是AB的中點
∴AB⊥CD
∵AA₁∩AB=A，AA₁，AB?面A₁ABB₁∴CD⊥面A₁ABB₁
∵A₁B?面A₁ABB₁
∴CD⊥A₁B
∵正方形A₁ABB₁中，DE∥AB₁，A₁B⊥AB₁
∴A₁B⊥DE
∵CD∩DE=D，CD，DE?面CDE
∴A₁B⊥面CDE
（2）設AB₁∩DE=F，
∵A₁B⊥面CDE∴CF為A₁C在面CDE上的射影
∴∠A₁CF是A₁C和面CDE所成的角
在Rt△A₁FC中，A₁F=3，A₁C=2

3

，∴sin∠A1CF=

A1F

A1C

=

3

2

，
∴∠A₁CF=60°，∴A₁C和面CDE所成的角為60°
（3）在Rt△CDE中，CD=

2

，DE=2，∴S△CDE=

2

∴VA1-CDE=

1

3

×S△CDE×A1F=

2

點評：本題主要考查了線面垂直的判定定理以及線面所成角的度量和體積的計算，同時考查了計算能力和論證推理能力，屬于中檔題．