Question

定義函數(shù)f（x）=

ln(x+2)+2

x

，g（x）=

m

x+2

．
（Ⅰ）若m=3

3

，求函數(shù)y=g（x）圖象上任意一點P到坐標原點的距離的最小值；
（Ⅱ）是否存在最大的正整數(shù)m，使得對任意的正數(shù)k，都存在實數(shù)a，b滿足-2＜a＜b＜k，有f（k）=f（a）=f（b），如果存在，求出最大的正整數(shù)m；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,點到直線的距離公式

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）在函數(shù)g（x）的圖象上任意取一點P（x，

3 3

x+2

），則|OP|=

x2+( 3 3 x+2 )2

，根據對稱性，取到最小值的點的橫坐標x＞0，由此能求出函數(shù)y=g（x）圖象上任意一點P到坐標原點的距離的最小值為2．
（Ⅱ）假設存在滿足條件的正整數(shù)m，函數(shù)g（x）=

m

x+2

在（-2，+∞）上單調遞減，f（k）=g（b）＞g（k），當x＞0時，不等式f（x）＞g（x）恒成立，由此利用導數(shù)性質推導出存在最大數(shù)m=5滿足條件．

解答： 解：（Ⅰ）在函數(shù)g（x）的圖象上任意取一點P（x，

3 3

x+2

），
則|OP|=

x2+( 3 3 x+2 )2

，根據對稱性，取到最小值的點的橫坐標x＞0，
令P（x）=x²+（

3 3

x+2

）²，p′(x)=2x-2×27(

1

x+2

)2=0，
即x（x+2）³=27，
觀察得x=1是方程的一個根，且x∈（0，1），
∴P′（x）＜0，x∈（1，+∞），
∴P（x）_min=4，∴|OP|_min=2．
即函數(shù)y=g（x）圖象上任意一點P到坐標原點的距離的最小值為2．
（Ⅱ）假設存在滿足條件的正整數(shù)m，函數(shù)g（x）=

m

x+2

在（-2，+∞）上單調遞減，
f（k）=g（b）＞g（k），
當x＞0時，不等式f（x）＞g（x）恒成立，即：

2+ln(x+2)

x

＞

m

x+2

，∴m＜

(x+2)[2+ln(x+2)]

x

，
令h（x）=

(x+2)[2+ln(x+2)]

x

，x＞0，
h′(x)=

x-4-2ln(x+2)

x

，x＞0
設p（x）=x-4-2ln（x+2），x＞0
則p′（x）=

x

x+2

＞0，x＞0，∴p（x）=x-4-2ln（x+2），x＞0是單調增函數(shù)，
而p（8）=4-2ln10＜0，p（9）=5-2ln11＞0，
存在唯一正實數(shù)x₀滿足p（x₀）=0，
∴h′（x₀）=0，x₀∈（8，9），
當x∈（0，x₀）時，h′（x）0．
∴x∈（0，+∞）時，h（x）_min=h(x0)=

(x0+2)[2+ln(x0+2)]

x0

=

x0+2

2

∈（5，

11

2

），
存在最大正數(shù)m滿足條件．
下面證明，當m=5時，對x∈（-2，0），有f（x）＜g（x），
即（x+2）ln（x+2）+4-3x＞0，
令r（x）=（x+2）ln（x+2）+4-3x，r′（x）=ln（x+2）-2＜0，x∈（-2，0），
∴r（x）＞r（0）=4+2ln2＞0，不等式成立，
∵函數(shù)g（x）=

m

x+2

在（0，+∞）的值域為（0，+∞），
函數(shù)f（x）=

ln(x+2)+2

x

在（0，+∞）的值域為（0，+∞），
在（-2，0）上的值域為（-∞，+∞），
∴存在實數(shù)a，b，滿足-1＜a＜b＜k，有f（k）=f（a）=g（b），
∴存在最大數(shù)m=5滿足條件．

點評：本題考查函數(shù)y=g（x）圖象上任意一點P到坐標原點的距離的最小值的求法，考查是否存在滿足條件的最大的正整數(shù)的判斷與求法，解題時要認真審題，注意導數(shù)性質的合理運用．