Question

【題目】已知橢圓的左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的離心率且的面積為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)線段的中點(diǎn)為，經(jīng)過(guò)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)， ，若點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)在直線上，求直線方程.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 或.

【解析】試題分析：

(1)由題意結(jié)合橢圓中的幾何關(guān)系計(jì)算可得，則橢圓方程為 .

(2)由題意可知當(dāng)垂直于軸時(shí)，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，滿足題意，

當(dāng)不垂直于軸時(shí)，設(shè) 交橢圓于，聯(lián)立直線方程與橢圓方程可得，由題意有，由斜率公式結(jié)合韋達(dá)定理整理計(jì)算可得： ，則直線方程為，

即所在的直線方程為或.

試題解析：

（1）因?yàn)?/span>，所以，

因?yàn)?/span> ，所以，

因?yàn)?/span>，所以，所以，所以，

所以 .

（2）的中點(diǎn)為，當(dāng)垂直于軸時(shí)，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，顯然滿足，

即直線的方程為，

當(dāng)不垂直于軸時(shí)，設(shè) 交橢圓于，

，

所以，

因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)在直線上，所以，

，

故，所以，

綜上可知， 所在的直線方程為或.