Question

2．在空間直角坐標系Oxyz中，$\overrightarrow{i}$，$\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow{k}$分別是x軸、y軸、z軸的方向向量，設$\overrightarrow{a}$為非零向量，且＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{i}$＞=45°，＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{j}$＞=60°，則＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{k}$＞=60°．

Answer 1

分析 由題意設$\overrightarrow{i}=（1，0，0），\overrightarrow{j}=（0，1，0），\overrightarrow{k}=（0，0，1）$，$\overrightarrow{a}=（x，y，z）$，結合＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{i}$＞=45°，＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{j}$＞=60°，列式得到x，y，z的關系，然后再由數(shù)量積求夾角公式求得＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{k}$＞．

解答 解：由題意可設$\overrightarrow{i}=（1，0，0），\overrightarrow{j}=（0，1，0），\overrightarrow{k}=（0，0，1）$，
再設$\overrightarrow{a}=（x，y，z）$，
由＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{i}$＞=45°，＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{j}$＞=60°，
得cos45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}}$，$cos60°=\frac{1}{2}=\frac{y}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}}$，
即${x}^{2}=\frac{1}{2}（{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}）$，${y}^{2}=\frac{1}{4}（{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}）$，
解得${y}^{2}={z}^{2}=\frac{1}{2}{x}^{2}$．
∴cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{k}$＞=$\frac{z}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}}=\sqrt{\frac{{z}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}}=\sqrt{\frac{\frac{1}{2}{x}^{2}}{2{x}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$．
∴＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{k}$＞=60°．
故答案為：60°．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查了由數(shù)量積求向量的夾角，是中檔題．