Question

定義在R上的函數(shù)y=f（x），f（0）≠0，當(dāng)x＞0時，f（x）＞1，且對任意的a、b∈R，有f（a+b）=f（a）·f（b）.

（1）求證：f（0）=1；

（2）求證：對任意的x∈R，恒有f（x）＞0；

（3）若f（x）·f（2x－x²）＞1，求x的取值范圍.

Answer 1

解：令a=b=0    則

    又

  

（2）證明：當(dāng)x=0時，f(x)=1>0

         當(dāng)x>0時，f(x)>1>0

         當(dāng)x<0時，—x>0，

       則

     

     綜上，對任意x∈R恒有f（x）＞0

（3）設(shè)

則存在正實數(shù)a，使得

則

又

即f（x）是定義在R上的單調(diào)遞增函數(shù)。

解得：

所以所求x的取值范圍是（0，3）