Question

16．已知函數(shù)f（x）=（1-x）e^x-1
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）令x_n•e${\;}^{{x}_{n+1}}$=e${\;}^{{x}_{n}}$-1，x₁=1，證明：數(shù)列{x_n}遞減且x_n＞$\frac{1}{{2}^{n}}$．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可證明當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜0；
（2）首先用數(shù)學(xué)歸納法證明x_n＞$\frac{1}{{2}^{n}}$，再結(jié)合${e}^{{x}_{n}}$-1＜x_n${e}^{{x}_{n}}$，即可證明：{x_n}單調(diào)遞減．

解答 （1）解：因?yàn)閒（x）=（1-x）e^x-1，
所以f′（x）=-e^x+（1-x）e^x=-xe^x，
令f′（x）＞0，解得：x＜0，令f′（x）＜0，解得：x＞0，
所以函數(shù)f（x）在（-∞，0）遞增，在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
因此f（x）_極大值=f（0）=0．                              
（2）證明：首先用數(shù)學(xué)歸納法證明x_n＞$\frac{1}{{2}^{n}}$．
①當(dāng)n=1時(shí)，1₁=1＞$\frac{1}{2}$，所以x₁＞$\frac{1}{2}$成立．
②假設(shè)n=k時(shí)，x_k＞$\frac{1}{{2}^{k}}$．
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，x_k+1•${e}^{{x}_{k+1}}$=${e}^{{x}_{k+1}}$-1，則x_k+1=$\frac{{e}^{{x}_{k+1}}-1}{{e}^{{x}_{k+1}}}$，
當(dāng)x＞0時(shí)，由不等式e^x-1＞x得$\frac{{e}^{x}-1}{x}$＞1且g（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{x}$在（0，+∞）單調(diào)遞增，
x_k＞$\frac{1}{{2}^{k}}$，
∴則x_k+1=$\frac{{e}^{{x}_{k+1}}-1}{{e}^{{x}_{k+1}}}$＞$\frac{{e}^{\frac{1}{{2}^{k}}}-1}{\frac{1}{{2}^{k}}}$＞$\frac{1}{{2}^{k+1}}$．
所以x_k+1＞$\frac{1}{{2}^{k+1}}$．
由①②可知對任意的正整數(shù)n，總有x_n＞$\frac{1}{{2}^{n}}$．
由（1）知（1-x_n）${e}^{{x}_{n}}$-1＜0，所以${e}^{{x}_{n}}$-1＜x_n${e}^{{x}_{n}}$．
由x_n${e}^{{x}_{n-1}}$=${e}^{{x}_{n}}$-1知x_n+1＜x_n．       
所以{x_n}單調(diào)遞減．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查數(shù)學(xué)歸納法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．