Question

求證:.

Answer 1

活動(dòng):先讓學(xué)生討論探究證明方法,教師引導(dǎo)思考方向.教材中介紹了兩種證明方法:證法一是從等式一邊到另一邊的證法,等式右邊的非零因式1+sinα,在左邊沒(méi)有出現(xiàn),可考慮左邊式子的分子、分母同乘以1+sinx,再化簡(jiǎn);在證法二中可以這樣分析,要讓算式成立,需證cos²x=(1+sinx)(1-sinx),即cos²x=1-sin²x,也就是sin²x+cos²x=1,由平方關(guān)系可知這個(gè)等式成立,將上述分析過(guò)程逆推便可以證得原式成立.證明三角恒等式的過(guò)程,實(shí)際上是化異為同的過(guò)程.這個(gè)過(guò)程往往從化簡(jiǎn)開(kāi)始,因此在證明三角恒等式時(shí),我們可以從最復(fù)雜處開(kāi)始.

證法一:由cosx≠0,知sinx≠±1,所以1+sinx≠0,于是

左邊==右邊.

所以原式成立.

證法二:因?yàn)?1-sinx)(1+sinx)=1-sin²x=cos²x=cosxcosx,

且1-sinx≠0,cosx≠0,所以.

    教師啟發(fā)學(xué)生進(jìn)一步探究:除了證法一和證法二外你是否還有其他的證明方法.教師和學(xué)生一起討論,由此可探究出證法三.依據(jù)“a-b=0a=b”來(lái)證明恒等式是常用的證明方法,由學(xué)生自己獨(dú)立完成.

證法三:因?yàn)?SUB>

==0,所以.

點(diǎn)評(píng):這是一道很有訓(xùn)練價(jià)值的經(jīng)典例題,教師要充分利用好這個(gè)題目.從這個(gè)例題可以看出,證明一個(gè)三角恒等式的方法有很多.要證明一個(gè)等式,可以從它的任何一邊開(kāi)始,證得它等于另一邊;還可以先證得另一個(gè)等式成立,從而推出需要證明的等式成立.