Question

敘述并證明余弦定理．

Answer 1

解析　余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦之積的兩倍．或：在△ABC中，a，b，c為A，B，C的對(duì)邊，有a²＝b²＋c²－2bccos A，b²＝c²＋a²－2cacos B，c²＝a²＋b²－2abcos C，

法一　如圖(1)，

圖(1)

a²＝·

＝(－)·(－)

＝²－2·＋²

＝²－2||·||cos A＋²

＝b²－2bccos A＋c²，即a²＝b²＋c²－2bccos A.

同理可證b²＝c²＋a²－2cacos B，c²＝a²＋b²－2abcos C.

法二　

圖(2)

已知△ABC中A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，如圖(2)則C(bcos A，bsin A)，B(c,0)，

∴a²＝|BC|²＝(bcos A－c)²＋(bsin A)²

＝b²cos²A－2bccos A＋c²＋b²sin²A

＝b²＋c²－2bccos A.

同理可證b²＝c²＋a²－2cacos B，

c²＝a²＋b²－2abcos C.