Question

已知函數(shù).

(1)若在處的切線與直線垂直，求的值；

(2)若存在單調(diào)遞減區(qū)間，求的取值范圍．

 

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）先求出，進(jìn)而得到在處的切線的斜率，由兩直線垂直的斜率關(guān)系式得到，進(jìn)而可求出的值；（2）先將存在單調(diào)遞減區(qū)間等價(jià)于在有解即也就是在有解，也就是，進(jìn)而只須用二次函數(shù)的知識(shí)求出函數(shù)的最小值即可得出的取值范圍.

試題解析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720194429311334/SYS201411172020031845910473_DA/SYS201411172020031845910473_DA.016.png">

所以在處的切線的斜率為

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720194429311334/SYS201411172020031845910473_DA/SYS201411172020031845910473_DA.004.png">在處的切線與直線垂直，而直線的斜率為

所以

（2）存在單調(diào)遞減區(qū)間，等價(jià)于在有解，即也就是在有解

令，則只需要求在上的最小值即可即

又設(shè)，則（當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取到等號(hào)）

所以

考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)；3.二次函數(shù)的最值.