Question

已知A₁，A₂為雙曲線C：的左右兩個(gè)頂點(diǎn)，一條動(dòng)弦垂直于x軸，且與雙曲線交于P，Q（P點(diǎn)位于x軸的上方），直線A1P與直線A₂Q相交于點(diǎn)M，
（1）求出動(dòng)點(diǎn)M（2）的軌跡方程
（2）設(shè)點(diǎn)N（﹣2，0），過點(diǎn)N的直線交于M點(diǎn)的軌跡上半部分A，B兩點(diǎn)，且滿足，其中，求出直線AB斜率的取值范圍．

Answer 1

解：（1）設(shè)P（x₀，y₀），Q（x₀，﹣y₀），
直線A₁P的方程為：，（1）
直線A₂Q的方程為：，（2）
將（1）×（2）得到：，又因?yàn)?IMG style="WIDTH: 87px; HEIGHT: 44px; VERTICAL-ALIGN: middle" src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20120902/201209022038053291634.png">．
所以得到M的軌跡方程為：，（y≠0）
（2），∴A，B，N三點(diǎn)共線，而點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣2，0）．
設(shè)直線AB的方程為y=k（x+2），其中k為直線AB的斜率，依條件知k≠0．
由消去x得，
即
根據(jù)條件可知解得
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則根據(jù)韋達(dá)定理，得
又由得（x₁+2，y₁）=λ（x2+2，y2）
從而
消去y₂得
令
則
由于
所以φ（λ）是區(qū)間上的減函數(shù)，
從而，
即，，
∴
解得
而，
∴
因此直線AB的斜率的取值范圍是。