Question

設(shè)x₁、x₂(x₁≠x₂)是函數(shù)f(x)=ax³+bx²-a²x(a＞0)的兩個(gè)極值點(diǎn).

(1)若x₁=-1,x₂=2,求函數(shù)f(x)的解析式;

(2)若|x₁|+|x₂|=22,求b的最大值;

(3)設(shè)函數(shù)g(x)=f′(x)-a(x-x₁),x∈(x₁,x₂),當(dāng)x₂=a時(shí),求證:|g(x)|≤a(3a+2)².

Answer 1

(1)解:∵f(x)=ax³+bx²-a²x(a＞0),

∴f′(x)=3ax²+2bx-a²(a＞0).

依題意有

∴a＞0.

解得∴f(x)=6x³-9x²-36x.

(2)解:∵f′(x)=3ax²+2bx-a²(a＞0),

依題意,x₁,x₂為方程f′(x)=0的兩個(gè)根,且|x₁|+|x₂|=2,

∴(x₁+x₂)²-2x₁x₂+2|x₁x₂|=8.

∴()²-2()+2||=8.

∴b²=3a²(6-a).

∵b²≥0,∴0＜a≤6.

設(shè)p(a)=3a²(6-a),則p′(a)=-9a²+36a.

由p′(a)＞0得0＜a＜4,由p′(a)＜0得a＞4,

即函數(shù)p(a)在區(qū)間(0,4］上是增函數(shù),在區(qū)間［4,6］上是減函數(shù).

∴當(dāng)a=4時(shí),p(a)有極大值為96.

∴p(a)在(0,6］上的最大值是96.

∴b的最大值為4_.

(3)證明:∵x₁,x₂是方程f′(x)=0的兩根,

∴f′(x)=3a(x-x₁)(x-x₂).

∵x₁·x₂=,x₂=a,

∴x₁=.

∴|g(x)|=|3a(x+)(x-a)-a(x+)|

=|a(x+)［3(x-a)-1］|.

∵x₁＜x＜x₂,即＜x＜a,

∴|g(x)|=a(x+)(-3x+3a+1).

∴|g(x)|=-3a(x+)(x)

=-3a(x)²++a²+a

≤+a²+a=.

∴|g(x)|≤(3a+2)²成立.