Question

設(shè)函數(shù)f(x)是定義在［-1,0］∪(0,1)上的偶函數(shù),當(dāng)x∈［-1,0］時(shí),f(x)=x³-ax(a∈R).

(1)當(dāng)x∈(0,1］時(shí),求f(x)的解析式；

(2)若a＞3,試判斷f(x)在(0,1］上的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論；

(3)是否存在a,使得當(dāng)x∈(0,1］時(shí),f(x)有最大值1.

Answer 1

思路分析：（1）利用偶函數(shù)的定義f(-x)=f(x).

（2）利用求函數(shù)單調(diào)性的步驟判斷函數(shù)在(0,1］上的單調(diào)性即可.

（3）求出函數(shù)的f(x)的最大值，讓其等于1，看a是否有解即可.

解：(1)∵x∈(0,1］時(shí),-x∈［-1,0),

∴f(-x)=(-x)³-a(-x)=ax-x³.

又f(x)為偶函數(shù),∴f(-x)=f(x),即f(x)=ax-x³.

(2)f′(x)=-3x²+a,∵x∈(0,1］,∴x²∈(0,1］.

∴-3x²≥-3.

∵a＞3,∴-3x²+a＞0,故f(x)在(0,1］上為增函數(shù).

(3)假設(shè)存在a,使得當(dāng)x∈(0,1］時(shí),f(x)有最大值1.∴f′(x)=a-3x².

令f′(x)=0,∴-3x²+a=0,即a＞0時(shí),x=.

又∵x∈(0,1),∴x=且＜1.

∴f′(x)在(0,)上大于0,在(,1]上小于0.

∴f(x)_max=f()==

=1.

∴a=時(shí),f(x)有最大值1.

    方法歸納 關(guān)于存在性問(wèn)題,處理的方法可以先假設(shè)存在,再尋找所得的結(jié)論.