Question

在平面直角坐標(biāo)系中，動點(diǎn)到兩點(diǎn)，的距離之和等于，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，直線過點(diǎn)且與曲線交于，兩點(diǎn)．

（1）求曲線的軌跡方程；

（2）是否存在△面積的最大值，若存在，求出△的面積；若不存在，說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）的最大值為．

【解析】

試題分析：解.（Ⅰ）由橢圓定義可知，點(diǎn)的軌跡C是以，為焦點(diǎn)，長半軸長為 的橢圓．   3分

故曲線的方程為．                5分

（Ⅱ）存在△面積的最大值.                   6分

因?yàn)橹本�過點(diǎn)，可設(shè)直線的方程為 或（舍）．

則

整理得 ．            7分

由．

設(shè)．

解得 ，  ．

則 ．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013062411142471965946/SYS201306241115138621146872_DA.files/image021.png">

．       10分

設(shè)，，．

則在區(qū)間上為增函數(shù)．

所以．

所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，即．

所以的最大值為．

考點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系

點(diǎn)評：解決的關(guān)鍵是根據(jù)直線與橢圓的聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理來表示三角形的面積，進(jìn)而結(jié)合函數(shù)的最值得到，屬于中檔題。