Question

在三棱錐S―ABC中，△ABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=，M、N分別為AB、SB的中點(diǎn)．

（1）證明：AC⊥SB；

（2）求二面角N―CM―B的余弦值；

（3）求B點(diǎn)到平面CMN的距離．

Answer 1

解：（1）取AC中點(diǎn)D，連結(jié)SD，BD．

（2）取BD中點(diǎn)E，連結(jié)NE，則NE//SD．

故由．

在平面ABC內(nèi)作EF⊥CM于F，連結(jié)NF，則由三垂線定理知CM⊥NF，

的平面角．

設(shè)

．

又由

，

．

即二面角．

（3）設(shè)B點(diǎn)到平面CMN的距離為，由

．

另解：（1）取AC中點(diǎn)O，連結(jié)OS、OB，SA=SC，AB=BC，且.

   平面SAC平面ABC，平面SAC平面ABC=AC．

SO平面ABC， SOBO．

以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)A、OB、OS為x軸、y軸、z軸的正向，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（2，0，0），B（0，，0）S（0，0，），M（1，，0），N（0，，）．

=（-4，0，0），=（0，，）．

=（-4，0，0）（0，，）=0，

．

 (2)由（1）得設(shè)為平面CMN的一個(gè)法向量，則　  取z=1,x=．

∴　．

又為平面ABC的一個(gè)法向量，

 ，   ∴二面角N-CM-B的大小為arccos．

(3)由（1）（2）得 ，為平面CMN的一個(gè)法向量

∴點(diǎn)B到平面CMN的距離。