Question

已知圓為ΔABC的內(nèi)切園，且BC中點為（1，-1），BC∥x軸。⑴求ΔABC頂點A的軌跡方程。⑵求|BC|的范圍。⑶試問ΔABC的面積是否存在最小值？請證明你的判斷。

Answer 1

(Ⅰ)  x+y=1(x<0)    (Ⅱ) （，+∞）   （Ⅲ）有最小值

解析:

⑴設(shè)A（m,n），過A的園的切線y-n=k(x-m)  即kx-y+n-km=0

則，即（m²-1）k²-2mnk+n²-1=0  Δ>0得m²+n²>1    ①

設(shè)此方程兩解k₁=k_AB  k₂=k_AC  則    ②

另一方面BC：y=-1  由AB：y-n=k₁(x-m)    AC：y-n=k₂(x-m)

解得：

由于BC中點為（1，-1）,∴

即，把②代入得：

即：得m+n=1  由①及⊙O為ΔABC內(nèi)切園知，A的軌跡方程為x+y=1(x<0)  （6分）

⑵由⑴知n>1,m<0 

   （8分）

∴BC的范圍為（，+∞）      （10分）

⑶存在 易知，令t=n-1>0  n=t+1

  （12分）

證法1：再令，則  上增函數(shù)。

易知  ∴內(nèi)恰有一解，設(shè)此解為x₀，即由是增函數(shù)，則為減函數(shù)。

是增函數(shù)。

存在最小值，即ΔABC面積有最小值。     （14分）

證法2：

易知為減函數(shù)。為增函數(shù)

有最小值，∴ΔABC面積有最小值