Question

10．已知f（x）=e^x（x-a-1）-$\frac{{x}^{2}}{2}$+ax（a＞0）
（1）討論f（x）的單調性：
（2）若x≥0時，f（x）+4a≥0，求正整數(shù)a的值．參考值e²≈7.389，e³≈20.086．

Answer 1

分析 （1）求導數(shù)，得到f′（x）=（x-a）（e^x-1），根據(jù)導數(shù)符號便可判斷出f（x）在（-∞，0）上單調遞增，在[0，a）上遞減，在[a，+∞）上單調遞增；
（2）f（x）+4a≥0對x≥0時恒成立，從而只需f（x）_min+4a≥0即可，而由（1）知f（x）在[0，+∞）上的最小值為f（a），從而可以得到${e}^{a}-\frac{{a}^{2}}{2}-4a≤0$．可設$g（a）={e}^{a}-\frac{{a}^{2}}{2}-4a$，求導數(shù)得到g′（a）=e^a-a-4，可再設h（a）=g′（a），這樣便可得出h′（a）＞0，說明h（a）在（0，+∞）上單調遞增，這時可以求得h（1）＜0，h（2）＞0，從而可知存在a₀∈[1，2]，使g′（a）在（0，a₀）上單調遞減，而在（a₀，+∞）上單調遞增．求的是滿足g（a）≤0的正整數(shù)，這樣可求出g（1）＜0，g（2）＜0，g（3）＞0，從而便得出a的值為1，或2．

解答 解：（1）f′（x）=e^x（x-a）-x+a=（x-a）（e^x-1）；
∵a＞0；
∴①x＜0時，x-a＜0，e^x-1＜0；
∴f′（x）＞0；
②0＜x＜a時，x-a＜0，e^x-1＞0；
∴f′（x）＜0；
③x＞a時，x-a＞0，e^x-1＞0；
∴f′（x）＞0；
∴f（x）在（-∞，0）上單調遞增，在[0，a）上單調遞減，在[a，+∞）上單調遞增；
（2）由上面知，x≥0時，$f（x）_{min}=f（a）=-{e}^{a}+\frac{{a}^{2}}{2}$；
∴由f（x）+4a≥0得，${e}^{a}-\frac{{a}^{2}}{2}-4a≤0$；
設g（a）=${e}^{a}-\frac{{a}^{2}}{2}-4a$，g′（a）=e^a-a-4；
設h（a）=e^a-a-4，h′（a）=e^a-1；
a＞0，∴e^a-1＞0，h′（a）＞0；
∴h（a）在（0，+∞）上為增函數(shù)；
又h（1）=e-5＜0，h（2）=e²-6＞0；
∴存在a₀∈（1，2）使h（a₀）=0；
∴a∈（0，a₀）時，h（a）＜0，g′（a）＜0；a∈（a₀，+∞）時，h（a）＞0，g′（a）＞0；
即g（a）在（0，a₀）上遞減，在（a₀，+∞）上遞增；
又g（1）=$e-\frac{9}{2}$＜0，g（2）=e²-2-8＜0，g（3）=${e}^{3}-\frac{9}{2}-12＞0$；
∴a=1或2．

點評 考查根據(jù)導數(shù)符號判斷函數(shù)的單調性的方法，指數(shù)函數(shù)的單調性，以及根據(jù)導數(shù)求函數(shù)最小值的方法，對單調函數(shù)零點的判斷．