Question

圖1-3-7是一個正方體,H、G、F分別是棱AB、AD、AA₁的中點.現(xiàn)在沿三角形GFH所在平面鋸掉正方體的一個角,問鋸掉的這塊的體積是原正方體體積的幾分之幾?

圖1-3-7

Answer 1

思路分析:因為鋸掉的是立方體的一個角,所以HA與AG、AF都垂直,即HA垂直于三角形AGF所在的立方體的上底面,實際上鋸掉的這個角,是以三角形AGF為底面,H為頂點的一個三棱錐.

解:設正方體的棱長為a,則正方體的體積為a³.

三棱錐的底面是直角三角形AGF,而∠FAG為90°,G、F又分別為AD、AA₁的中點,

所以AF=AG=a.

這樣△AGF的面積為×a×a=a².AH是三棱錐的高,H又是AB的中點,

所以AH=a.而三棱錐的體積等于底面積與高的乘積再除以3,所以鋸掉的那一角的體積為×a×a²=a³.

所以鋸掉的那塊的體積是原正方體體積的.

  綠色通道:對于三棱錐(或四面體)的體積來說,三棱錐的任何一個面都可以充當它的底面,頂點到這個面的距離即是高.根據(jù)題目的已知條件更換底面,可方便地解決相關問題,這種方法在求三棱錐的體積時常用.