Question

已知兩定點(diǎn)F₁（-，0），F₂（，0），滿足條件的點(diǎn)P的軌跡是曲線E，直線y=kx-1與曲線E交于A、B兩點(diǎn).

（1）求k的取值范圍；

（2）如果|AB|=，且曲線E上存在點(diǎn)C，使，求m的值和△ABC的面積S.

 

 

Answer 1

解：（1）由雙曲線的定義可知，曲線E是以F₁（，0）、F₂（，0）為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，且c=,a=1,易知b=1.

故曲線E的方程為x²-y²=1(x<0）.

設(shè)A（x₁,y₁）,B(x₂,y₂),由題意建立方程組

消去y,得(1-k²)x²+2kx-2=0.

又已知直線與雙曲線左支交于A、B兩點(diǎn)，有

解得-<k<-1.

(2)因?yàn)閨AB|=|x₁-x₂|

=·

=·

=.

依題意得=.

整理后得28k⁴-55k²+25=0.

∴k²=或k²=.

但<k<-1,∴k=-.

故直線AB的方程為.

設(shè)C（x_c,y_c）,由已知,得(x₁,y₁)+(x₂,y₂)=(mx_c,my_c),

∴(x_c,y_c)=(,)(m≠0).

又x₁+x₂==,y₁+y₂=k(x₁+x₂)-2===8,

∴點(diǎn)C(,).

將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入曲線E的方程，得-=1.

得m=±4.但當(dāng)m=-4時(shí)，所得的點(diǎn)在雙曲線的右支上，不合題意.

∴m=4,C點(diǎn)坐標(biāo)為（-，2）.

C到AB的距離為.

∴△ABC的面積S=××=.

點(diǎn)評：本小題主要考查雙曲線的定義和性質(zhì)、直線與雙曲線的關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離等知識(shí)以及解析幾何的基本思想、方法和綜合解決問題的能力.