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已知橢圓E的長軸是短軸的2倍，且經(jīng)過點(diǎn)（1，0）

   （1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

   （2）若過點(diǎn)M（0，1）的直線l交橢圓E（取焦點(diǎn)在y軸上的橢圓）于點(diǎn)A、B，點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，當(dāng)l繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時(shí)，求動點(diǎn)P的軌跡方程.

解：（1）設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

由已知得a=2b,且過點(diǎn)（１，０）

   （2）解法一：直線l過點(diǎn)M（0，1）設(shè)其斜率為k，則l的方程為

記、由題設(shè)可得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)、是方程組

②
 

①
 
                 的解.

將①代入②并化簡得，，所以

于是

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為則

消去參數(shù)k得     ③

當(dāng)k不存在時(shí)，A、B中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)（0，0），也滿足方程③，所以點(diǎn)P的軌跡方

程為

解法二：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，因、在橢圓上，所以

  ④               ⑤

④―⑤得，所以

當(dāng)時(shí)，有      ⑥

并且    ⑦   將⑦代入⑥并整理得     ⑧

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為（0，2）、（0，－2），

這時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，0）也滿足⑧，

所以點(diǎn)P的軌跡方程為

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓E的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，長軸是短軸的2倍，且橢圓E過點(diǎn)(
2
，
2
2
)；斜率為k（k＞0）的直線l過點(diǎn)A（0，2），
n
為直線l的一個(gè)法向量，坐標(biāo)平面上的點(diǎn)B滿足條件|
n
•
AB
|=|
n
|．
（1）寫出橢圓E方程，并求點(diǎn)B到直線l的距離；
（2）若橢圓E上恰好存在3個(gè)這樣的點(diǎn)B，求k的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的離心率為
3
2
，點(diǎn)A，B分別是橢圓C的長軸、短軸的端點(diǎn)，點(diǎn)O到直線AB的距離為
6
5
5
．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知點(diǎn)E（3，0），設(shè)點(diǎn)P、Q是橢圓C上的兩個(gè)動點(diǎn)，滿足EP⊥EQ，求
EP
•
QP
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知中心在原點(diǎn)O、焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的離心率為
3
2
，點(diǎn)A、B分別是橢圓C的長軸、短軸的端點(diǎn)，點(diǎn)O到直線AB的距離為
6
5
5
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知點(diǎn)E（3，0），設(shè)點(diǎn)P、Q是橢圓C上的兩個(gè)動點(diǎn)，滿足EP⊥EQ，求
EP
•
QP
的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義：離心率e=
5
-1
2
的橢圓為“黃金橢圓”，已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)為F（c，0）（c＞0），P為橢圓E上的任意一點(diǎn)．
（1）試證：若a，b，c不是等比數(shù)列，則E一定不是“黃金橢圓”；
（2）沒E為黃金橢圓，問：是否存在過點(diǎn)F、P的直線l，使l與y軸的交點(diǎn)R滿足
RP
=-2
PF
？若存在，求直線l的斜率k；若不存在，請說明理由；
（3）已知橢圓E的短軸長是2，點(diǎn)S（0，2），求使
SP
2取最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

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