Question

4．已知函數(shù)y=f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，滿足f（2+x）=f（2-x），若函數(shù)y=f（x）在（0，4）上至少有一個零點，且f（0）=0，則函數(shù)y=f（x）在（-8，10]上的零點個數(shù)至少為9．

Answer 1

分析 判斷f（x）的對稱性和周期性，利用周期性和對稱性得出答案．

解答 解：∵f（2+x）=f（2-x）=f（x-2），
∴f（x）周期為4，
∵f（0）=0，∴f（4）=f（8）=f（-4）=0，
∵f（x）在（0，4）上至少有1個零點，
∴f（x）在（-8，-4），（-4，0），（4，8）上至少有1個零點，
∵f（2+x）=f（2-x），∴f（x）關于直線x=2對稱，
∴f（x）關于直線x=10對稱，
∴f（x）在（8，10]上至少存在1個零點，
綜上，f（x）在（-8，10]上至少存在9個零點．
故答案為：9．

點評 本題考查了函數(shù)的對稱性與周期性的應用，屬于中檔題．