Question

在△ABC中，A（1，1），B（4，5），C（-1，1），則與角A的平分線共線且方向相同的單位向量為________．

Answer 1

分析：作D點（1，5），則△ADB為直角三角形，∠DAB=arctan，△CAD為直角三角形，∠CAD=，由∠CAB=∠CAD+∠DAB，知 tan∠CAB=-，設E在角平分線上，則∠CAE=∠CAB，設tan∠CAE=k，則-=，由此能求出該單位向量．
解答：作D點（1，5），則 ①△ADB為直角三角形
∴∠DAB=arctan，②△CAD為直角三角形
∴∠CAD=，
∵∠CAB=∠CAD+∠DAB
∴∠CAB=+arctan
∴tan∠CAB=-，
設E在角平分線上，則∠CAE=∠CAB，
設tan∠CAE=k，-=，
解之得 k=2 （另一解不合題意，舍去）
即，該角平分線的斜率為 tan（π-∠CAE）=-tan∠CAE=-2．
該向量與之共線且方向相同，
則設其為 （-a，2a），（其中a＞0）
又其為單位向量，
則（-a）²+（2a）²=1²
解之得 a==，（負值解不合所設，舍去）
則該單位向量為（-，）．
故答案為：（-，）．
點評：本題考查單位向量的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．