Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足

an-1

Sn

=

a-1

a

（a＞0，且a≠1）．?dāng)?shù)列 {b_n}滿足b_n=a_n•log₂a_n
（1）求數(shù)列{a_n}的通項．
（2）當(dāng)a=2時，求數(shù)列 {b_n}前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）由Sn-1=

a

a-1

（a_n-1-1），Sn-1=

a

a-1

（a_n-1-1），相減得

an

an-1

=a，利用等比數(shù)列的通項公式可求a_n
（2）由bn=n•2n．則T_n=1×2+2×2²+…+（n-1）×2^n-1+n×2ⁿ，利用錯位相減法可求

解答：解：（1）由題意可知當(dāng)n=1時，a₁=a
當(dāng)n≥2時，Sn=

a

a-1

(an-1) ①
Sn-1=

a

a-1

（a_n-1-1）（n≥2）②
①-②得

an

an-1

=a
所以數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列   
 所以an=an
（2）因為b_n=a_nlog₂a_n且a=2
所bn=n•2n
所以T_n=1×2+2×2²+…+（n-1）×2^n-1+n×2ⁿ     
2T_n=1×2²+2×2³+…（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹   
兩式相減可得，-Tn=2+22+23+…+2n-n•2n+1
=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1
=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹
∴Tn=(n-1)2n+1+2

點評：本題主要利用數(shù)列的遞推公式an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

求解數(shù)列的通項公式，等比數(shù)列的通項公式的應(yīng)用，數(shù)列求和的錯誤相減的應(yīng)用，屬于綜合試題