Question

一個邊長為2a的正方體容器被水充滿,首先把半徑為a的球放入其中,再放入一個能被水完全淹沒的小球,若想使溢出的水量最大,則這個小球半徑為 (　　)

A.(2-)a

B.(-1)a

C.()a

D.a

Answer 1

思路解析:要想使溢出的水量最大,則大球應與正方體的各個面相切;而小球與大球相切,且與正方體從一個頂點出發(fā)的三個面相切,因此本題的實質是“兩球相外切并分別與正方體相內切,求小球的半徑”.如圖,作一個包含各數(shù)量關系的截面,即正方體的對角面.

解:由正方體與球的對稱性,易知大球的球心O₁在長方體的對角線A′C上,且半徑R=a.以下求小球的半徑r,為此先證明小球的球心也在對角線A′C上.

小球和從頂點C出發(fā)的三個面相切,因此小球球心在對角面A′AC上,且小球與下底面的切點N在下底面的對角線AC上.

∵Rt△O₁FC∽Rt△O₂NC,∴

又O₂N=r,∴tan∠O₂CN=.而tan∠A′CA=,∴O₂在對角線A′C上.

∵Rt△O₁O₂E∽Rt△A′CA,∴

∴r=(2-)a.選A.

答案:A

方法歸納  為了開拓思路,本題還可把O₂C、O₁O₂用r表示后,再求得A′O₁,令它們的和等于r,同樣可得r.