Question

14．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面AA₁B₁B⊥平面ABC，D是AC的中點．
（Ⅰ）求證：B₁C∥平面A₁BD；
（Ⅱ）若∠A₁AB=∠ACB=60°，AB=BB₁，AC=2，BC=1，求三棱錐A₁-ABD的體積．

Answer 1

分析 （1）連接AB₁，交A₁B于點O，連接DO，根據(jù)線面平行的判定定理即可證明B₁C∥平面A₁BD；
（2）若∠A₁AB=∠ACB=60°，AB=BB₁，AC=2，BC=1，分別求出三棱錐的底面積和高的大小，根據(jù)三棱錐的體積公式即可求三棱錐A₁-ABD的體積．

解答 （1）連接AB₁，交A₁B于點O，連接DO
在△ACB₁中，點D是AC的中點，點O是AB₁的中點
∴CB₁∥DO，
∵BC₁?平面A₁BD，DO?平面A₁BD
∴BC₁∥平面A₁BD．
（2）取AB的中點E，連接A₁E，ED，
則ED∥BC，且ED=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}×1$=$\frac{1}{2}$，
∵∠A₁AB=60°，AB=BB₁，
∴四邊形AA₁B₁B是菱形，
則AE⊥AB，∵平面AA₁B₁B⊥平面ABC，
∴AE⊥平面ABC，
即AE是三棱錐A₁-ABD的高，
∵∠ACB=60°，AC=2，BC=1，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}-2AC•BCcos60°}$=$\sqrt{4+1-2×2×1×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{3}$，
則滿足AC²=BC²+AB²，
即△ABC是直角三角形，
則BC⊥AB，即ED⊥AB，
則△ABD的面積S_△ABD=$\frac{1}{2}AB•ED$=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
AE=$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3}{2}$
則三棱錐A₁-ABD的體積V=$\frac{1}{3}$S_△ABD•AE=$\frac{1}{3}×$$\frac{\sqrt{3}}{4}$×$\frac{3}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{8}$．

點評 本題主要考查線面平行的判定以及三棱錐體積的計算，根據(jù)面面垂直和線面平行的性質(zhì)定理求出三棱錐的底面積和高是解決本題的關(guān)鍵．