Question

某公司生產(chǎn)一產(chǎn)品的固定成本為20000元，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品需增加投入100元．已知每月總收益p（x）=

400x- 1 2 x2       0≤x≤400 80000               x＞400

（其中x表示月產(chǎn)量）
（1）將月利潤表示為x的函數(shù)f（x）；（利潤=總收益-總成本）
（2）當(dāng)月產(chǎn)量為何值時(shí)，公司所獲利潤最大？最大利潤為多少？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)利潤=銷售收入-成本，結(jié)合銷售收入函數(shù)，可把得月利潤表示為x的函數(shù)f（x）
（2）分段求出函數(shù)的最值，比較它們的大小，可得工廠的利潤最大值．

解答：解：（1）根據(jù)利潤=總收益-總成本，可得月利潤f（x）=p（x）-100x-20000=

- 1 2 x2+300x-20000，0≤x≤400 60000-100x， x＞400

；
（2）當(dāng)0≤x≤400時(shí)，f（x）=-

1

2

x²+300x-20000=-

1

2

（x-300）²+25000
∴x=300時(shí)，f（x）_max=25000，
當(dāng)x＞400時(shí)，f（x）=60000-100x為減函數(shù)
∴f（x）＜60000-40000=20000
∴當(dāng)年產(chǎn)量為300件時(shí)，工廠的利潤最大，最大值為25000元．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是正確構(gòu)建函數(shù)，確定函數(shù)的最值，屬于中檔題．