Question

3．點(diǎn)在函數(shù)y=x³-9x的圖象上，滿足在該點(diǎn)處的切線的傾斜角小于$\frac{π}{4}$，且該點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 3個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 1個(gè)
• D． 0個(gè)

Answer 1

分析 根據(jù)傾斜角求出斜率的范圍，設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的函數(shù)值就是該點(diǎn)的斜率，求出切點(diǎn)橫坐標(biāo)的范圍，即可推出坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

解答 解：∵切線傾斜角小于$\frac{π}{4}$，
∴斜率k∈[0，1）．
設(shè)切點(diǎn)為（x₀，x₀³-9x₀），則k=y′|_x=x0=3x₀²-9，
∴0≤3x²₀-9＜1，即3≤x₀²＜$\frac{10}{3}$．
又∵x₀∈Z，∴x₀不存在．
則該點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線的斜率、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及幾何意義，考查計(jì)算能力，邏輯思維能力，是基礎(chǔ)題．