Question

【題目】如圖，在三棱錐中， ， ， 為的中點(diǎn).

（1）求證： ；

（2）設(shè)平面平面， ， ，求二面角的平面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析;（2）.

【解析】試題分析：

(1)由題意可得證得平面，然后利用線面垂直的判斷定理即可證得；

(2)由題意建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合平面的法向量可得面角的平面角的正弦值是.

試題解析：

（1）設(shè)中點(diǎn)為，連接， ，

因?yàn)?/span>，所以，

又為的中點(diǎn)，

所以.

因?yàn)?/span>，所以，

因?yàn)?/span>，所以平面，又平面，

所以

（2）由（1）知，

因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面， 平面，

所以平面，又.

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以， ， 為軸， 軸， 軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

因?yàn)?/span>， ， ，所以，

由為中點(diǎn)， ， ，得， ，

則， ， ， ， ， ，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

由，即取，可得，

因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面， 平面，

所以平面，所以平面的一個(gè)法向量為，

∴ ，

設(shè)二面角的大小為，則

所以，

∴二面角的平面角的正弦值為.